Question

 

某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米，且.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為千元.設(shè)該容器的建造費(fèi)用為千元.

（Ⅰ）寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；

（Ⅱ）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的.

 

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】（Ⅰ）因?yàn)槿萜鞯捏w積為立方米，

所以,

解得,

由于

因此。

所以圓柱的側(cè)面積為=,

兩端兩個(gè)半球的表面積之和為,

所以建造費(fèi)用+,定義域?yàn)?sub>.

 （Ⅱ）因?yàn)?sub>+=,

由于c>3,所以c-2>0,

所以令得: ;

令得:,

（1）   當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)y在（0，2）上是單調(diào)遞減的，故建造費(fèi)最小時(shí)r=2。

（2）   當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)y在（0，2）上是先減后增的，故建造費(fèi)最小時(shí)。