Question

（本小題8分） 已知圓: 和圓外一點（1, ）,

（1）若直線經過原點，且圓上恰有三個點到直線的距離為,求直線的方程;

（2）若經過的直線與圓相切，切點分別為,求切線的方程及兩切點所在的直線方程.

Answer 1

（1），（2）或，（3），

【解析】

試題分析：已知圓的圓心為，半徑,要使圓上恰有三個點到直線的距離為1,因圓的半徑為2，則圓心到直線的距離恰為1，所求直線經過原點，滿足圓心到直線的距離為1，設直線方程后用待定系數法求出即可. 第二步求圓的切線方程，可先設出直線的方程，然后利用相切條件，圓心到直線的距離等于半徑，求出斜率,再寫出切線方程即可；最后利用四點共圓，寫出圓的方程，為兩圓的公共弦，其方程只需用兩圓的方程相減的得到即可.

試題解析：（1）圓C的圓心為，半徑,圓上恰有三個點到直線的距離為1,則圓心到直線的距離恰為1，當直線的斜率存在時，不妨設直線方程為，設圓心到直線的距離為，由，無解，當直線斜率不存在時，直線的方程為符合題意,所以所求直線為.（2）當直線的斜率存在時，設直線方程為，即，設圓心到直線的距離為，則，所求直線為，當直線的斜率不存在時，直線方程為符合題意，則所求的切線方程為或,由于，則四點共圓，圓心，半徑為4，寫出圓的方程，而為兩圓的公共弦，把兩圓的方程相減，得：

考點：1.直線與圓相交、相切問題；2.求兩圓的公共弦方程；