Question

已知函數f（x）=，數列{a_n}滿足對于一切n∈N^*有a_n＞1，且a_n+1=f（a_n）．數列{b_n}滿足，（a＞0且a≠1）設．
（Ⅰ）求證：數列為等比數列，并指出公比；
（Ⅱ）若k+l=5，求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）若k+l=M（M為常數），求數列從第幾項起，后面的項都滿足．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要證數列為等比數列，只要證明為常數即可證，該常數即為公比
（Ⅱ）由結合（I）可得=-=log_a3，由等差數列的性質可得，，從而可求a，結合等差數列的通項且有k+l=5
（Ⅲ）由k+l=M可求，=3M-2，由等差數列的通項可求b_n，假設第m項后有足．即第m項后b_n＜0，于是原命題等價于，代入解不等式可求M
解答：證明：（Ⅰ）∵f（x）=，a_n+1=f（a_n）
∴
∴===
∴==
故數列{ln}為等比數列，公比為3
解：（Ⅱ）∵
∴
=-=log_a3
所以數列是以為首項，公差為 log_a3的等差數列．
又
∴a==
又=1+3l，且k+l=5
∴
∴
（Ⅲ）∵k+l=M
∴
假設第m項后滿足=a．
∵
即第m項后，于是原命題等價于
…（15分）
∵M∈N^*⇒M=M故數列{a_n}從M+1項起滿足．．       …（16分）
點評：本題考查了等差和等比數列的綜合，以及數列與不等式相結合等等知識點，屬于難題．解題時請注意對數式的處理，和利用數列綜合解決問題中要求數列的技巧運用．