Question

如圖正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，以下結論不正確的是（　　）

• A、異面直線A₁D與AB₁所成的角為60°
• B、直線A₁D與BC₁垂直
• C、直線A₁D與BD₁平行
• D、三棱錐A-A₁CD的體積為

  1

  6

  a³

Answer 1

考點：異面直線的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：如圖所示，建立空間直角坐標系．利用正方體的性質、向量的夾角公式與數量積的關系、三棱錐的體積計算公式即可得出．

解答：解：如圖所示，建立空間直角坐標系．
A．A₁（a，0，a），D（0，0，0），A（a，0，0），B₁（a，a，a）．
∴

A1D

=（-a，0，-a），

AB1

=（0，a，a），
∴cos＜

A1D

，

AB1

＞=

A1D • AB1

| A1D || AB1 |

=

-a2

2 a• 2 a

=-

1

2

，
∴異面直線A₁D與AB₁所成的角為60°．
B．C₁（0，a，a），B（a，a，0）．

A1D

•

BC1

=（-a，0，-a）•（-a，0，a）=a²-a²=0．
∴直線A₁D與BC₁垂直．
C．D₁（0，0，a）．
∵

A1D

•

BD1

=（-a，0，-a）•（-a，-a，a）=a²-a²=0，∴直線A₁D與BD₁垂直，不平行；
D．三棱錐A-A₁CD的體積=VC-A1AD=

1

3

×

1

2

a2•a=

1

6

a3．
綜上可知：只有C不正確．
故選：C．

點評：本題考查了正方體的性質、向量的夾角公式與數量積的關系、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．