Question

【題目】設(shè)x，y，z∈R，z（x+2y）＝m．

（1）若m＝1，求的最小值；

（2）若x2+2y2+3z2＝m2﹣8，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．

【解析】

（1）由均值不等式及其變形，可得到兩數(shù)的平方和不小于兩數(shù)和平方的一半，對運(yùn)用剛得到的基本不等式的變形性質(zhì)，結(jié)合已知進(jìn)行求解即可；

（2）由均值不等式和絕對值不等式得x2+2y2+3z2＝（x2+z2）+2（y2+z2）≥2|xz|+4|yz|≥2|xz+2yz|＝2|z（x+2y）|＝|m|，進(jìn)而得到關(guān)于m的不等式，解出即可．

（1）∵a2+b2≥2ab，

∴2（a2+b2）≥（a+b）2，即a2+b2（a+b）2，

∴x2+4y2z2（x+2y）2z22|（x+2y）z|＝1，

當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y，x+2y＝z時(shí)，即x＝2yz，等號成立，

∴x2+4y2z2的最小值是1．

（2）∵m2﹣8＝x2+2y2+3z2＝（x2+z2）+2（y2+z2）≥2|xz|+4|yz|，（當(dāng)且僅當(dāng)|x|＝|y|＝|z|時(shí)等號成立），

又2|xz|+4|yz|≥2|xz+2yz|＝2|z（x+2y）|＝|m|，（當(dāng)且僅當(dāng)xz與yz非異號時(shí)等號成立）．

∴m2﹣8≥2|m|，即m2﹣2|m|﹣8≥0，

解得|m|≥4，即m≥4或m≤﹣4，

所以m的取值范圍為（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．