Question

【題目】設橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，離心率為， 在軸負半軸上有一點，且

（1）若過三點的圓 恰好與直線相切，求橢圓C的方程；

（2）在（1）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓C交于兩點，在軸上是否存在點，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在滿足題意的點且的取值范圍是．

【解析】

（1）根據，得，所以|F1F2|＝a，利用，可得F1為BF2的中點，從而可得△ABF2的外接圓圓心為，半徑r＝|F1A|＝a，根據過A、B、F2三點的圓與直線相切，利用點到直線的距離公式，即可確定橢圓方程；

（2）由（1）知F2（1，0），設l的方程為：y＝k（x﹣1）與橢圓方程聯立，利用韋達定理，結合菱形對角線垂直，所以，可得m，k之間的關系，從而可得結論．

（1）由題意，得，所以|F1F2|＝a，∵|AF1|＝|AF2|＝a，，

∴F1為BF2的中點，∴|AF1|＝|AF2|＝|F1F2|＝a，∴△ABF2的外接圓圓心為，半徑r＝|F1A|＝a，

又過A、B、F2三點的圓與直線相切，所以，

∴a＝2，∴c＝1，b2＝a2﹣c2＝3．∴所求橢圓方程為；

（2）由（1）知F2（1，0），設l的方程為：y＝k（x﹣1），

將直線方程與橢圓方程聯立，整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0；

設M（x1，y1），N（x2，y2），則；

假設存在點P（m，0），使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，由于菱形對角線垂直，所以，

又

又MN的方向向量是（1，k），故k（y1+y2）+x1+x2﹣2m＝0，則k2（x1+x2﹣2）+x1+x2﹣2m＝0，

即，由已知條件知k≠0且k∈R，

∴，∴，故存在滿足題意的點P且m的取值范圍是.