Question

定義在區間[0，1]上的函數f（x）滿足：f（0）=f（1）=0，且對任意的x₁，x₂∈[0，1]都有f（）≤f（x₁）+f（x₂）；
（1）證明：對任意的x∈[0，1]，都有f（x）≥0；
（2）求f（）的值．

Answer 1

（1）任取x₁=x₂=x∈[0，1]，則f（）≤f（x）+f（x），即f（x）≤2f（x），
∴f（x）≥0，
故對任意的x∈[0，1]都有f（x）≥0
（2）由f（0）=f（1）=0得f（）≤f（0）+f（1）=0+0=0，
于是f（）≤0，
又由（1）的結果知f（）≥0，
故f（）=0；
由f（）=0與f（1）=0
得f（）≤f（）+f（1）=0+0=0，
∴f（）≤0，又由（1）知f（）≥0，
故f（）=0．
分析：（1）任取x₁=x₂=x∈[0，1]，依題意，對任意的x₁，x₂∈[0，1]都有f（）≤f（x₁）+f（x₂），可證得f（x）≥0；
（2）利用f（0）=f（1）=0，結合已知可求得f（）≤0，而由（1）的結果知f（）≥0，從而可得故f（）=0；同理可求得f（）=f（）的值．
點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查賦值法的靈活應用，考查推理分析與運算的能力，屬于中檔題．