Question

已知定義在區間[0，1]上的函數y=f（x）的圖象如圖所示，對于滿足0＜x₁＜x₂＜1的任意x₁，
x₂，下列結論正確的是（　　）

• A、f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁
• B、f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁
• C、

  f(x1)+f(x2)

  2

  ＞f（

  x1+x2

  2

  ）
• D、x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）

Answer 1

分析：由題意及所給的函數圖形，利用導函數的幾何意義可以知道概函數在定義域內單調遞增但增的越來越慢即可求解．

解答：解：對于A，f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁，因為0＜x₁＜x₂＜1，所以等價于

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞1，即圖形中的任意兩點構成的斜率大于1，有所給圖形應該在前一半的圖形中斜率才大于1，故A錯，
對于B，等同于A，它的圖形中后一半的斜率才小于1，故B錯，
對于C，任取圖形中的兩點（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），
則C選項中，左邊的式子意義為以（x₁，0），（x₂，0），（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））這四個點為頂點的直角梯形的上下底的中位線，右邊式子代表的是（x₁，0）和（x₂，0）這兩點的中點處得函數值，有圖可知，應該有左邊的小于右邊的，故C錯，
對于D，x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）?

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

，由于0＜x₁＜x₂＜1，所以這個式子左邊是（x₁，f（x₁））與（0，0）構成的斜率，右邊是（x₂，f（x₂））與（0，0）構成的斜率，有圖形可知D正確．
故選：D

點評：此題考查了在條件下對于式子的等價變形及代數式子的意義，還考查了導數的幾何意義，梯形的中位線及中點處的函數值等．