Question

【題目】設圓的圓心為，直線過點且與軸不重合，直線交圓于，兩點，過點作的平行線交于點.

（1）證明為定值，并寫出點的軌跡方程；

（2）設點的軌跡為曲線，直線交于，兩點，過點且與直線垂直的直線與圓交于，兩點，求四邊形面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，（2）

【解析】

（1）由，，故，所以，得到，化簡得，利用橢圓的定義，即可求解；

（2）設的方程為，聯立方程組，利用根與系數的關系，結合弦長公式和三角形的面積公式，即可求解．

（1）因為，，故，

所以，故，

又圓的標準方程為，

從而，所以，

由題設得，，，

由橢圓定義可得點的軌跡方程為.

（2）當與軸不垂直時，設的方程為，，，

由得，

則，，

所以，

過點且與垂直的直線，到的距離為，

所以，

故四邊形的面積，

可得當與軸不垂直時，四邊形面積的取值范圍為，

當與軸垂直時，其方程為，，四邊形的面積為，

綜上，四邊形面積的取值范圍為.