Question

【題目】如圖，橢圓的離心率為，其左頂點在圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓的另一個交點為，與圓的另一個交點為.

當時，求直線的斜率；

是否存在，使？若存在，求出直線的斜率；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）直線的斜率為；（ii）不存在．

【解析】

試題（Ⅰ）求橢圓標準方程，要確定的值，由題意有，再由離心率得，最后由可得；（Ⅱ）本小題是解析幾何中的探索性問題，解決問題的方法是假設存在，設直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立可求得點坐標（用表示），因此就是直線與橢圓的一個交點，因此另一個交點的坐標易求，從而可得，（i）由解得，（ii）由圓的性質(zhì)可求得，要滿足題意則應該有，如能解得，則說明存在，如解不出，則說明不存在．

試題解析：

（Ⅰ）因為橢圓的左頂點在圓上，所以．

又離心率為，所以，所以，

所以，

所以的方程為．

（Ⅱ）（i）

法一：設點，顯然直線存在斜率，

設直線的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立得，

化簡得到，

因為為上面方程的一個根，所以，所以

由，

代入得到，解得，

所以直線的斜率為．

（ii）因為圓心到直線的距離為，

所以．

因為，

代入得到

．

顯然，所以不存在直線，使得．

法二：（i）設點，顯然直線存在斜率且不為，

設直線的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立得，

化簡得到，

顯然上面方程的一個根，所以另一個根，即，

由，

代入得到，解得．

所以直線的斜率為

（ii）因為圓心到直線的距離為，

所以．

因為，

代入得到

．

若，則，與直線存在斜率矛盾，

所以不存在直線，使得．