Question

（2013•廣東）設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，

2Sn

n

=an+1-

1

3

n2-n-

2

3

，n∈N^*．
（1）求a₂的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）證明：對一切正整數n，有

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

7

4

．

Answer 1

分析：（1）利用已知a₁=1，

2Sn

n

=an+1-

1

3

n2-n-

2

3

，n∈N^*．令n=1即可求出；
（2）利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）即可得到na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），可化為

an+1

n+1

=

an

n

+1，

an+1

n+1

-

an

n

=1．再利用等差數列的通項公式即可得出；
（3）利用（2），通過放縮法

1

an

=

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

（n≥2）即可證明．

解答：解：（1）當n=1時，

2S1

1

=2a1=a2-

1

3

-1-

2

3

，解得a₂=4
（2）2Sn=nan+1-

1

3

n3-n2-

2

3

n①
當n≥2時，2Sn-1=(n-1)an-

1

3

(n-1)3-(n-1)2-

2

3

(n-1)②
①-②得2an=nan+1-(n-1)an-n2-n
整理得na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），即

an+1

n+1

=

an

n

+1，

an+1

n+1

-

an

n

=1
當n=1時，

a2

2

-

a1

1

=2-1=1
所以數列{

an

n

}是以1為首項，1為公差的等差數列
所以

an

n

=n，即an=n2
所以數列{a_n}的通項公式為an=n2，n∈N^*
（3）因為

1

an

=

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

（n≥2）
所以

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

4

+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=1+

1

4

+

1

2

-

1

n

=

7

4

-

1

n

＜

7

4

點評：熟練掌握等差數列的定義及通項公式、通項與前n項和的關系a_n=S_n-S_n-1（n≥2）、裂項求和及其放縮法等是解題的關鍵．