Question

【題目】函數f（x）是定義在R上的奇函數，給出下列命題：
①f（0）=0；
②若f（x）在（0，+∞）上有最小值為﹣1，則f（x）在（﹣∞，0）上有最大值1；
③若f（x）在[1，+∞）上為增函數，則f（x）在（﹣∞，﹣1]上為減函數；
④若x＞0，f（x）=x2﹣2x；則x＜0時，f（x）=﹣x2﹣2x．
其中所有正確的命題序號是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：由函數f（x）是定義在R上的奇函數，可得f（﹣0）=﹣f（0）即f（0）=0
①f（0）=0；正確
②若f（x）在（0，+∞）上有最小值為﹣1，則根據奇函數的圖形關于原點對稱可在f（x）在（﹣∞，0）上有最大值1；正確
③若f（x）在[1，+∞）上為增函數，則根據奇函數在對稱區間上的單調性可知f（x）在（﹣∞，﹣1]上為增函數；錯誤
④若x＞0，f（x）=x2﹣2x；則x＜0時，﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x）2﹣2（﹣x）]=﹣x2﹣2x．正確
所以答案是①②④
【考點精析】認真審題，首先需要了解命題的真假判斷與應用(兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系)，還要掌握函數奇偶性的性質(在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇)的相關知識才是答題的關鍵．