Question

已知i是虛數單位，使（1+i）ⁿ為實數的最小正整數n是

 

．

Answer 1

分析：把復數的代數形式變化為三角形式，寫出三角形式乘方的結果，要使的表示式是一個實數，則表示式的虛部為0，解出三角函數的方程，得到n的最小值．

解答：解：∵（1+i）ⁿ=(

2

)n(

2

2

+i

2

2

)n=(

2

)n(cos n

π

4

+isin n

π

4

)
（1+i）ⁿ為實數，
∴sin

nπ

4

=0，
∴

nπ

4

=kπ，k∈z
∴使（1+i）ⁿ為實數的最小正整數n是4，
故答案為：4

點評：本題考查復數的乘方，復數兩種形式的互化，復數的代數形式和三角形式是復數運算中常用的兩種形式，注意兩種形式的標準形式，不要在簡單問題上犯錯誤．