Question

函數f（x）=x²⁰⁰⁹|x+a|+b是奇函數的充要條件是（　　）

• A．ab=0
• B．a+b=0
• C．

  b

  a

  =0
• D．a²+b²=0

Answer 1

分析：根據題意，由奇函數的定義可得若f（x）為奇函數，則等式-x²⁰⁰⁹|-x-a|+b+x²⁰⁰⁹|x-a|+b=0對于任意的x∈R都成立，分析可得，必有a=b=0，進而分析可得a=b=0?a²+b²=0，驗證充分性，即可得答案．

解答：解：根據題意，若f（x）為奇函數，則對任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
即等式-x²⁰⁰⁹|-x-a|+b+x²⁰⁰⁹|x-a|+b=0對于任意的x∈R都成立，
分析可得，必有a=b=0，
分析可得a=b=0?a²+b²=0，
反之若a²+b²=0，則a=b=0，
則f（x）=x²⁰⁰⁹|x|，f（-x）=-x²⁰⁰⁹|x|，
則對任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
故f（x）為奇函數；
即函數f（x）=x²⁰⁰⁹|x+a|+b是奇函數的充要條件是a²+b²=0，
故選D．

點評：本題考查函數的奇偶性的性質與充要條件的判斷，關鍵在于由等式恒成立分析出a=b=0．