Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
（1）設橢圓的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差數列，求橢圓C的方程；
（2）對（1）中的橢圓C，直線y=x+1與C交于P、Q兩點，求|PQ|的值；
（3）設B為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸的一個端點，F為橢圓C的一個焦點，O為坐標原點，記∠BFO=θ．當橢圓C同時滿足下列兩個條件：①

π

6

≤θ≤

π

4

；②a²+b²=2a²b²．求橢圓長軸的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接根據條件列出關于a²，b²，c²的方程，求出a²，b²，c²即可得到橢圓方程；
（2）把直線方程與橢圓方程聯立得到關于P、Q兩點坐標之間的關系，再結合兩點間的距離公式即可求|PQ|的值；
（3）先根據①知

1

2

≤

b

a

≤

2

2

，再結合②整理去掉b即可求出橢圓長軸的取值范圍（注意長軸的長是指2a）．

解答：（本題滿分（16分），第1題（4分），第2題（6分），第3題6分）
解：（1）由已知，a²=b²+1，且2b²=a²+1，…（2分）
解得a²=3，b²=2，所以橢圓C的方程是

x2

3

+

y2

2

=1．…（4分）
（2）將y=x+1代入橢圓C的方程，得

x2

3

+

(x+1)2

2

=1，化簡得，5x²+6x-3=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=-

6

5

，x1x2=-

3

5

，…（6分）
所以，|PQ|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=2（x₁-x₂）²=2[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=2•(

36

25

+

12

5

)=

192

25

，
所以|PQ|=

8 3

5

．…（10分）
（3）由①知，

1

2

≤sinθ≤

2

2

，即

1

2

≤

b

a

≤

2

2

，…（11分）
由②得，b2=

a2

2a2-1

，而

1

4

≤

b2

a2

≤

1

2

，即

1

4

≤

1

2a2-1

≤

1

2

，…（13分）
解得

6

2

≤a≤

10

2

，…（15分）
所以，橢圓長軸的取值范圍是[

6

，

10

]．…（16分）

點評：本題主要考查圓錐曲線與數列，兩點間距離公式以及解析幾何的綜合．