Question

如圖，設F是橢圓：（a＞b＞0）的左焦點，直線l為其左準線，直線l與x軸交于點P，線段MN為橢圓的長軸，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若過點P的直線與橢圓相交于不同兩點A，B，求證：∠AFM=∠BFN；
（3）（理）求三角形ABF面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由|MN|=8，知a=4，由|PM|=2|MF|，得-a=2（a-c），由此能求出橢圓的標準方程．
（2）當AB的斜率為0時，∠AFM=∠BFM=0，滿足題意．當AB方程為x=my-8，代入橢圓方程得（3m²+4）y²-48my+144=0，由K_AF+K_BF=0，得到∠AFM=∠BFN．故恒有∠AFM=∠BFN．
（3）（理）S_△ABF=S_△PBF-S_△PAF=|=≤，由此能求出三角形ABF面積的最大值．
解答：解：（1）∵線段MN為橢圓的長軸，且|MN|=8，∴a=4
∵|PM|=2|MF|，
∴-a=2（a-c）
∴a²-ac=2ac-2c²，
∴2e²-3e+1=0，
解得e=或e=1（舍去）
∴c=2，b²=a²-c²=12，
∴橢圓的標準方程為=1．
（2）當AB的斜率為0時，顯然∠AFM=∠BFM=0，滿足題意．
當AB方程為x=my-8，代入橢圓方程整理得
（3m²+4）y²-48my+144=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，，
∴K_AF+K_BF=
=
==0
∴K_AF+K_BF=0，從而∠AFM=∠BFN  綜上可知，恒有∠AFM=∠BFN．
（3）（理）∵P（-8，0），F（-2，0），∴|PF|=6，
∴|y₂-y₁|=
=
=，
∴S_△ABF=S_△PBF-S_△PAF
=-
=|
=
=
≤
當且僅當3
即m²=（此時適合△＞0的條件）時取等號
∴三角形ABF面積的最大值是3．
點評：本題考查直線與橢圓的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．