Question

如圖，設F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點，MN為橢圓的長軸，|MN|=8，焦距為2c，對于點P（-

a2

c

，0）有|PM|=2|MF|
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）求證：對于任意的割線PAB，恒有∠AFM=∠BFN．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由|MN|=8，知a=4，由|PM|=2|MF|，得

a2

c

-a=2（a-c），由此能求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）當AB的斜率為0時，∠AFM=∠BFM=0，滿足題意．當AB方程為x=my-8，代入橢圓方程得（3m²+4）y²-48my+144=0，由k_AF+k_BF=0，得到∠AFM=∠BFN．
故恒有∠AFM=∠BFN．

解答：解：（Ⅰ）解：（1）∵線段MN為橢圓的長軸，且|MN|=8，∴a=4
∵|PM|=2|MF|，
∴

a2

c

-a=2（a-c）
∴a²-ac=2ac-2c²，
∴2e²-3e+1=0，
解得e=

1

2

或e=1（舍去）
∴c=2，b²=a²-c²=12，
∴橢圓的標準方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）當AB的斜率為0時，顯然∠AFM=∠BFM=0，滿足題意．
當AB方程為x=my-8，代入橢圓方程整理得
（3m²+4）y²-48my+144=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y1+y2=

48m

3m2+4

，y1y2=

144

3m2+4

，
∴k_AF+k_BF=

y1

x1+2

+

y2

x2+2

=

y1

my1-6

+

y2

my2-6

=

2my1y2-6(y1+y2)

(my1-6)(my2-6)

=

288m 3m2+4 - 288m 3m2+4

(my1-6)(my2-6)

=0
∴k_AF+k_BF=0，從而∠AFM=∠BFN  綜上可知，恒有∠AFM=∠BFN．

點評：本題考查直線與橢圓的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．