Question

設某物體一天中的溫度T是時間t的函數，已知T（t）=at³+bt²+ct+d（a≠0），其中溫度的單位是℃，時間的單位是小時，中午12：00相應的t=0，中午12：00以后相應的t取正數，中午12：00以前相應的t取負數（如早上8：00相應的t=-4，下午16：00相應的t=4），若測得該物體在早上8：00的溫度為8℃，中午12：00的溫度為60℃，下午13：00的溫度為58℃，且已知該物體的溫度在早上8：00與下午16：00有相同的變化率．
（1）求該物體的溫度T關于時間t的函數關系式；
（2）該物體在上午10：00至下午14：00這段時間中（包括端點）何時溫度最高？最高溫度是多少？

Answer 1

解：（1）求導函數可得T′=3at²+2bt+c
∵該物體的溫度在早上8：00與下午16：00有相同的變化率
∴T′（-4）=T′（4），∴12a-8b+c=12a+8b+c，∴b=0
∵該物體在早上8：00的溫度為8℃，中午12：00的溫度為60℃，下午13：00的溫度為58℃
∴
∴a=1，b=0，c=-3，d=60
∴T（t）=t³-3t²+60（-12≤t≤12）；
（2）T′=3t²-3=3（t+1）（t-1），
令T′＞0，可得t＜-1或t＞1；令T′＜0，可得-1＜t＜1
∴函數在（-2，-1）上單調遞增，在（-1，1）上單調遞減，在（1，2）上單調遞增
∵T（-2）=58，T（-1）=62，T（1）=58，T（2）=62
∴t=-1或t=2時，T（t）取到最大值62，說明在上午11：00與下午14：00，該物體溫度最高，最高溫度是62℃．
分析：（1）求導函數，利用該物體的溫度在早上8：00與下午16：00有相同的變化率，建立方程，求得b的值，再利用該物體在早上8：00的溫度為8℃，中午12：00的溫度為60℃，下午13：00的溫度為58℃，建立方程組，即可確定函數的解析式；
（2）確定函數在[-2，2]上的單調性，從而可得函數的極值與最值，即可求得結論．
點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，考查函數解析式的確定，考查導數知識的運用，考查計算能力，屬于中檔題．