Question

設某物體一天中的溫度T是時間的函數：T（t）=at³+bt²+ct+d（a≠0），其中溫度的單位是℃，時間單位是小時，t=0表示12：00，取正值表示12：00以后．若測得該物體在8：00的溫度是8℃，12：00的溫度為60℃，13：00的溫度為58℃，且已知該物體的溫度在8：00和16：00有相同的變化率．
（1）寫出該物體的溫度T關于時間的函數關系式；
（2）該物體在10：00到14：00這段時間中（包括10：00和14：00），何時溫度最高，并求出最高溫度；
（3）如果規定一個函數f（x）在區間[x₁，x₂]（x₁＜x₂）上的平均值為

1

x2-x1

∫

x2 x1

f(x)dx，求該物體在8：00到16：00這段時間內的平均溫度．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用該物體的溫度在早上8：00與下午16：00有相同的變化率，建立方程，求得b的值，再利用該物體在早上8：00的溫度為8℃，中午12：00的溫度為60℃，下午13：00的溫度為58℃，建立方程組，即可確定函數的解析式；
（2）確定函數在[-2，2]上的單調性，從而可得函數的極值與最值，即可求得結論．
（3）求出被積函數的原函數，然后分別代入積分上限和下限求解．

解答：解：（1）求導函數可得T′=3at²+2bt+c
∵該物體的溫度在早上8：00與下午16：00有相同的變化率
∴T′（-4）=T′（4），∴12a-8b+c=12a+8b+c，∴b=0
∵該物體在早上8：00的溫度為8℃，中午12：00的溫度為60℃，下午13：00的溫度為58℃
∵該物體在早上8：00的溫度為8℃，中午12：00的溫度為60℃，下午13：00的溫度為58℃
∴

d=60 -64a+16b-4c+a=8 a+b+c+d=58

，
∴a=1，b=0，c=-3，d=60
∴T（t）=t³-3t²+60（-12≤t≤12）；
（2）T′=3t²-3=3（t+1）（t-1），
令T′＞0，可得t＜-1或t＞1；令T′＜0，可得-1＜t＜1
∴函數在（-2，-1）上單調遞增，在（-1，1）上單調遞減，在（1，2）上單調遞增
∵T（-2）=58，T（-1）=62，T（1）=58，T（2）=62
∴t=-1或t=2時，T（t）取到最大值62，說明在上午11：00與下午14：00，該物體溫度最高，最高溫度是62℃；
（3）由題意可得該物體在8：00到16：00這段時間內的平均溫度為：

1 4-(-4) ∫

4 -4

(t3-3t2+60)dt=

1

8

(

1

4

t4-t3+60t

)|

4 -4

=14．
所以該物體在8：00到16：00這段時間內的平均溫度14℃．

點評：本題考查了函數模型的選擇及應用，考查了導數知識的運用，考查了計算能力，訓練了定積分的求解，屬中檔題．