Question

【題目】動圓M與圓F1：x2+y2+6x+5＝0外切，同時與圓F2：x2+y2﹣6x﹣91＝0內切．

（1）求動圓圓心M的軌跡方程E，并說明它是什么曲線；

（2）若直線yx+m與（1）中的軌跡E有兩個不同的交點，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1，是橢圓；（2）（﹣6，6）.

【解析】

（1）求出兩圓的半徑和圓心，設動圓圓心為M（x，y），半徑為r則|MF1|＝2+r，|MF2|＝10﹣r于是|MF1|+|MF2|＝12＞|AB|＝6，軌跡為橢圓，計算得到答案.

（2）聯立方程，計算得到答案.

（1）圓x2+y2+6x+5＝0的圓心為F1（﹣3，0），半徑為2；

圓x2+y2﹣6x﹣91＝0的圓心為F2（3，0），半徑為10；

設動圓圓心為M（x，y），半徑為r；則|MF1|＝2+r，|MF2|＝10﹣r；

于是|MF1|+|MF2|＝12＞|AB|＝6，

所以，動圓圓心M的軌跡是以F1（﹣3，0），F2（3，0）為焦點，長軸長為12的橢圓．

∴a＝6，c＝3，b2＝a2﹣c2＝27；所以M的軌跡方程為：1．

（2）將直線：yx+m代入橢圓方程，消去y整理得，12x2+12mx+4m2﹣108＝0，①

由于直線l：y＝kx+1與軌跡E有兩個不同的交點，則①有兩個不相等的根，

∴△＝（12m）2﹣4×12×（4m2﹣108）＞0m2＜108﹣6m＜6．

故m的取值范圍是：（﹣6，6）．