Question

【題目】已知橢圓：，該橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)是圓上任意一點(diǎn)，由引橢圓的兩條切線，，當(dāng)兩條切線的斜率都存在時(shí)，證明：兩條切線斜率的積為定值.

Answer 1

【答案】(1) .(2)見解析.

【解析】

（1）由橢圓經(jīng)過點(diǎn)，可以求出的值，由離心率為，可知的關(guān)系，結(jié)合之間的，可以求出的值，這樣就求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，且.點(diǎn)引橢圓的切線方程可設(shè)為，

與橢圓方程聯(lián)立，讓根的判斷式為零，得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，可以證明出兩條切線斜率的積為定值.

（1）由題意得，解得，.

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)，且.

由題意知，過點(diǎn)引橢圓的切線方程可設(shè)為，

聯(lián)立化簡得.

∵直線與橢圓相切，

∴，

化簡得.

∴.

∴兩條切線斜率的積為定值.