Question

設函數f（x）的實數x、y，有f（x+y）=f（x）+f（y）＞0 且當x＞0，f（x）＜0，則f（x）在區間[a，b]上（　　）

• A．有最大值f

  a+b

  2

• B．有最小值f

  a+b

  2

• C．有最大值f（a）
• D．有最小值f（a）

Answer 1

分析：根據題意可得到函數f（x）為奇函數，且為減函數，從而可得到答案．

解答：解：∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，得f（0）=0，
再令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函數f（x）為奇函數；
又當x＞0時，f（x）＜0=f（0），
∴f（x）是減函數
∴在區間[a，b]上，f（a）＞f（b）．
∵a＜b，
∴a＜

a+b

2

＜b，
∴f（b）＜f（

a+b

2

）＜f（a），
∴f（x）在區間[a，b]上有最大值f（a），最小值f（b）．
故選C．

點評：本題考查抽象函數及其應用，考查函數的奇偶性與單調性，分析得到f（x）是減函數是關鍵，也是難點，屬于中檔題．