Question

設函數f（x）的定義域是（0，+∞），對任意正實數m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且當x＞1時，f（x）＜0，f（2）=-1
（1）求f（1）和f（

1

2

）的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是減函數．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，對于任意正實數m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），可令m=n=1，先求出f（1），然后令 m=2，n=

1

2

，即可求出 f(

1

2

)的值；
（2）先在定義域內任取兩個值x₁，x₂，并規定大小，然后判定出f（x₁），與f（x₂）的大小關系，根據單調增函數的定義可知結論；

解答：解：（1）令m=n=1，則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0（2分）
令 m=2，n=

1

2

，則 f(1)=f(2×

1

2

)=f(2)+f(

1

2

)，
∴f(

1

2

)=f(1)-f(2)=1（4分）

（2）設0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1
∵當x＞1時，f（x）＜0
∴f(

x2

x1

)＜0（6分）
f(x2)=f(x1×

x2

x1

)=f(x1)+f(

x2

x1

)＜f(x1)（9分）
所以f（x）在（0，+∞）上是減函數（10分）．

點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，以及函數單調性的判斷與證明，屬于中檔題．