Question

設函數f（x）的定義域為R，對任意的實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）；當x＜0時，f（x）＜0，且f（1）=1．
（1）判斷并證明f（x）在（-∞，+∞）上的單調性；
（2）若數列{a_n}滿足：0＜a₁＜1，且2-a_n+1=f（2-a_n），證明：對任意的n∈N^*，0＜a_n＜1．

Answer 1

分析：（1）f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，利用單調性的定義進行證明即可；
（2）利用賦值法，可得a_n+1=f（a_n），再用數學歸納法，證明即可．

解答：（1）解：f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，證明如下：
設任意x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，則
∵x₁-x₂＜0，∴f（x₁-x₂）＜0，∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）+f（x₂）＜f（x₂）
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增．…（6分）
（2）證明：在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=1，得f（2）=f（1）+f（1）=2．
令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．
令y=-x，得f（-x）+f（x）=0，即f（-x）=-f（x）
∴2-a_n+1=f（2-a_n），∴2-a_n+1=f（2）+f（-a_n）
∴2-a_n+1=2-f（a_n），∴a_n+1=f（a_n）
下面用數學歸納法證明：…（9分）
①當n=1時，0＜a₁＜1，不等式成立；
②假設當n=k（k∈N^*）時，不等式成立，即0＜a_k＜1，
則∵f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，
∴f（0）＜a_k+1=f（a_k）＜f（1），∴0＜a_k+1＜1，
即當n=k+1時不等式也成立．
綜上①②，由數學歸納法原理可知對任意的n∈N^*，0＜a_n＜1…（14分）

點評：本題考查函數的單調性，考查數學歸納法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．