Question

已知：兩條直線l₁：y=m²和l₂：y=6-2m（m＜3），直線l₁與函數(shù)y=|log₂x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)A、B，直線l₂與函數(shù)y=|log₂x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)C、D，記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a，b．
（1）若m=2時(shí)，求a的值．
（2）當(dāng)m變化時(shí)，記f（m）=

b

a

，求函數(shù)f（m）的解析式及其最小值．

Answer 1

分析：（1）將m=2代入，可得直線l₁和l₂的方程，進(jìn)而求出A，B，C，D的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出線段AC在x軸上的投影長度a
（2）由已知中l(wèi)₁：y=m²和l₂：y=6-2m，y=|log₂x|，解絕對值方程可求出a，b的表達(dá)式，進(jìn)而得到f（m）的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得f（m）的最小值．

解答：解：（1）若m=2，則直線l₁：y=4和l₂：y=2
由|log₂x|=4，得x1=2-4，x2=24，…1分
由|log₂x|=2，得x3=2-2，x4=22…（2分）
xA=2-4，xC=2-2，…（4分）
∴a=|xA-xC|=

3

16

…（5分）
（2）∵l₁：y=m²和l₂：y=6-2m，y=|log₂x|
由|log₂x|=m²，得x1=2-m2，x2=2m2，…7分
|log₂x|=6-2m，得x3=2-(6-2m)，x4=2(6-2m)．…（9分）
得a=|2-m2-2-(6-2m)|，b=|2m2-2(6-2m)|，…（10分）
所以f（m）=

b

a

=

|2m2-2(6-2m)|

|2-m2-2-(6-2m)|

=2m22(6-2m)=2m2-2m+6（m＜3且m≠-1±

7

） …（13分）
因?yàn)椋簃²-2m+6=（m-1）²+5≥5，（m＜3）
所以f（m）=

b

a

=2m2-2m+6≥2⁵=32．…（16分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法，絕對值方程的解法，函數(shù)的最值，其中求出a，b的表達(dá)式，是解答的關(guān)鍵．