Question

已知橢圓的中心為坐標原點，一個長軸端點為，短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，若直線與軸交于點，與橢圓交于不同的兩點，且。（14分）

(1)求橢圓的方程；

(2)求實數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）-1<m<或<m<1

【解析】

試題分析：（1）∵一個長軸端點為，所以，且焦點在y軸上，

因為短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，所以，

又因為，所以，所以橢圓方程為.

（2）(1)當直線斜率不存在時，不符題意，斜率為0時顯然也不符題意；

設，

由，

∴，

設，，，

所以，，

所以，所以， 消去得，

又，∴，

∴， ∴<0， ∴-1<m<或<m<1.

考點：本小題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.

點評：求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，免不了要聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，此時一般運算量比較大，綜合考查學生分析問題、解決問題的能力和運算求解能力.