Question

（2013•南通一模）已知數(shù)列{a_n}中，a₂=1，前n項和為S_n，且Sn=

n(an-a1)

2

．
（1）求a₁，a₃；
（2）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并寫出其通項公式；
（3）設(shè)lgbn=

an+1

3n

，試問是否存在正整數(shù)p，q（其中1＜p＜q），使b₁，b_p，b_q成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組（p，q）；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）在Sn=

n(an-a1)

2

中，分別令n=2，n=3即可求得答案；
（2）由Sn=

n(an-a1)

2

，即Sn=

nan

2

①，得Sn+1=

(n+1)an+1

2

②，兩式作差得（n-1）a_n+1=na_n ③，從而有na_n+2=（n+1）a_n+1 ④，③+④，根據(jù)等差數(shù)列中項公式即可證明；
（3）假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)組（p，q），使b₁，b_p，b_q成等比數(shù)列，則lgb₁，lgb_p，lgb_q成等差數(shù)列，從而可用p表示出q，觀察可知（p，q）=（2，3）滿足條件，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性可證明（p，q）=（2，3）唯一符合條件．

解答：（1）解：令n=1，則a₁=S₁=

1(a1-a1)

2

=0，
令n=3，則S3=

3(a3-a1)

2

，即0+1+a₃=

3a3

2

，解得a₃=2；   
（2）證明：由Sn=

n(an-a1)

2

，即Sn=

nan

2

①，得Sn+1=

(n+1)an+1

2

②，
②-①，得（n-1）a_n+1=na_n ③，
于是，na_n+2=（n+1）a_n+1 ④，
③+④，得na_n+2+na_n=2na_n+1，即a_n+2+a_n=2a_n+1，
又a₁=0，a₂=1，a₂-a₁=1，
所以數(shù)列{a_n}是以0為首項，1為公差的等差數(shù)列．
所以a_n=n-1．                                          
（3）假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)組（p，q），使b₁，b_p，b_q成等比數(shù)列，
則lgb₁，lgb_p，lgb_q成等差數(shù)列，
于是，

2p

3p

=

1

3

+

q

3q

．                                       
所以，q=3q(

2p

3p

-

1

3

)（☆）．易知（p，q）=（2，3）為方程（☆）的一組解．    
當(dāng)p≥3，且p∈N*時，

2(p+1)

3p+1

-

2p

3p

=

2-4p

3p+1

＜0，
故數(shù)列{

2p

3p

}（p≥3）為遞減數(shù)列                                      
于是

2p

3p

-

1

3

≤

2×3

33

-

1

3

＜0，所以此時方程（☆）無正整數(shù)解．      
綜上，存在唯一正整數(shù)數(shù)對（p，q）=（2，3），使b₁，b_p，b_q成等比數(shù)列．

點評：本題考查等差、等比數(shù)列的綜合問題，考查等差數(shù)列的通項公式，考查遞推公式求數(shù)列通項，存在性問題往往先假設(shè)存在，然后以此出發(fā)進(jìn)行推理論證得到結(jié)論．