Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，a₁=4d，若a_k是a₁與a_2k的等比中項(xiàng)，則K的值為

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式表示出a_k與a_2k，由a_k是a₁與a_2k的等比中項(xiàng)，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，根據(jù)公差d不為0化簡(jiǎn)后得到關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：由a₁=4d，得到a_k=4d+（k-1）d=（k+3）d，a_2k=4d+（2k-1）d=（2k+3）d，
又a_k是a₁與a_2k的等比中項(xiàng)，所以[（k+3）d]²=4d[（2k+3）d]，
化簡(jiǎn)得：（k+3）²d²=4（2k+3）d²，由d≠0，
得到：（k+3）²=4（2k+3），即k²-2k-3=0，k為正整數(shù)，
解得：k=3，k=-1（舍去），
則k的值為3．
故答案為3．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)求值，掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．