Question

如圖，過點P（1，5）作直線l，與直線a：y=-

3

x+2

3

、直線b：x=2分別交于A、B兩點，M為直線a與直線b的交點，則△ABM面積的最小值為

 

．

Answer 1

分析：易得M（2，0），當AB平行于x軸時，A（2-

5 3

3

，5）、B（2，5），|AB|=

5 3

3

，S_△ABM為

25 3

6

，當AB斜率存在，設直線AB的方程為 y-5=k （x-1），將AB的方程分別與直線a、直線b的方程聯立，可得A，B坐標，再求|AB|弦長和點M到直線AB的距離，由三角形面積公求解．

解答：解：易得M（2，0），當AB平行于x軸時，A（2-

5 3

3

，5）、B（2，5），|AB|=

5 3

3

S_△ABM為

25 3

6

，
由題意知，AB斜率存在，設AB斜率為k，則直線AB的方程為 y-5=k （x-1），
將 AB的方程分別與直線a、直線b的方程聯立，可得A（

k+2 3 -5

k+ 3

，

3 k+5 3

k+ 3

），B（2，k+5），
|AB|=

|5+K| 1+K2

k+ 3

，點M到直線AB的距離為：d=

|7-k|

1+k2

S△ABM=

1

2

|AB|•d=

k2-k+35

k+ 3

≥10-2

3

點評：本題主要考查用幾何法幾三角形的面積，涉及到弦長公式，點到直線的距離等問題．