Question

如圖,橢圓(a＞b＞0)與過點A(2,0),B(0,1)的直線有且只有一個公共點T,且橢圓的離心率e=,

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點,求證:|AT|²=|AF₁||AF₂|.

Answer 1

(1)解:過A、B的直線方程為+y=1,?

因為由題意得有唯一解,?

即(b²+a²)x²-a²x+a²-a²b²=0有唯一解,?

所以Δ=a²b²(a²+4b²-4)=0(ab≠0).?

故a²+4b²-4=0.?

又因為c=,?

即,?

所以a²=4b².從而得a²=2,b²=,故所求的橢圓方程為+2y²=1.

(2)證明:由(1)得c=,所以F₁(,0),F₂(,0),?

由

解得x₁=x₂=1,?

因此T(1,).?

從而|AT|²=,?

因為|AF₁|·|AF₂|=,?

所以|AT| ²=|AF₁|·|AF₂|.