Question

如圖，A、B分別是橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的上、下兩頂點，P是雙曲線

y2

a2

-

x2

b2

=1上在第一象限內的一點，直線PA、PB分別交橢圓于C、D點，如果D恰是PB 的中點．
（1）求證：無論常數a、b如何，直線CD的斜率恒為定值；
（2）求雙曲線的離心率，使CD通過橢圓的上焦點．

Answer 1

分析：（1）設P點坐標為（x₀，y₀），根據題意寫出A、B坐標分別是（0，a）、（0，-a），而D是PB的中點，根據中點坐標公式，寫出點D的坐標，并代入橢圓方程，解方程組即可求得點D的坐標，聯立直線和橢圓方程，求得點C的坐標，即可求得直線CD的斜率；
（2）當CD過橢圓焦點(0，

a2-b2

)時，則

a2-b2

=

a

2

，∴b=

3

4

a2，根據c²=a²+b²，即可求得雙曲線的離心率．

解答：解：（1）設P點坐標為（x₀，y₀），又A、B坐標分別是（0，a）、（0，-a）
而D是PB的中點，∴D點坐標為（

x0

2

，

y0-a

2

），
把D點坐標代入橢圓方程，得：

(y0-a)2

a2

+

x 2 0

b2

=4    ①
又

y 2 0

a2

-

x 2 0

b2

=1      ②
由①②解得，y₀=2a（y₀=-a舍去）x0=

3

b，∴P點坐標為(

3

b，2a)
故kPA=

y0-a

x0

=

a

3 b

，直線PA的方程是y=

a

3 b

x+a與

y2

a2

+

x2

b2

=1聯立，解得
C點坐標為(-

3 b

2

，

a

2

)，又D點坐標為(

3

2

b，

a

2

)
∴C、D兩點關于y軸對稱，故無論a、b如何變化，都有CD∥x軸，直線CD的斜率恒為常常0．
（2）當CD過橢圓焦點(0，

a2-b2

)時，
則

a2-b2

=

a

2

，∴b=

3

4

a2，
雙曲線中，c=

a2+b2

=

7

2

a，
∴雙曲線的離心率e=

c

a

=

7

2

．

點評：此題是個中檔題．考查橢圓和雙曲線的簡單的幾何性質，以及雙曲線的離心率的求解，以及直線和橢圓相交中的有關中點弦的問題，綜合性強．