Question

已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，則棱錐S-ABC的體積為（ ）
A．3
B．2
C．
D．1

Answer 1

【答案】分析：設球心為點O，作AB中點D，連接OD，CD，說明SC是球的直徑，利用余弦定理，三角形的面積公式求出S_△SCD，和棱錐的高AB，即可求出棱錐的體積．
解答：解：設球心為點O，作AB中點D，連接OD，CD 因為線段SC是球的直徑，
所以它也是大圓的直徑，則易得：∠SAC=∠SBC=90°
所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30° 得：AC=2，SA=2
又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30° 得：BC=2，SB=2 則：SA=SB，AC=BC
因為點D是AB的中點所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD===
在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD===
又SD交CD于點D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱錐S-ABC的體積：V=AB•S_△SCD，
因為：SD=，CD=，SC=4 所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD²+CD²-SC²）=（+-16）==
則：sin∠SDC==
由三角形面積公式得△SCD的面積S=SD•CD•sin∠SDC==3
所以：棱錐S-ABC的體積：V=AB•S_△SCD==
故選C
點評：本題是中檔題，考查球的內接棱錐的體積的求法，考查空間想象能力，計算能力，有難度的題目，�？碱}型．