Question

已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點，AB=2，∠ASC=∠BSC=60°，則棱錐S-ABC的體積為

 

．

Answer 1

分析：根據條件求出三棱錐的底面積和高的大小，利用三棱錐的體積公式即可求解．

解答：解：設球心為點O，∵為線段SC是球的直徑，
∴它也是大圓的直徑，
則得：∠SAC=∠SBC=90°，
∴在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=60° 得：AC=2

3

，SA=2，
又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=，60° 得：BC=2

3

，SB=2，
∵AB=2，
∴△SAB為正三角形，△CAB為等腰三角形，
設AB的中點為D，連結SD和CD，
則SD=

3

，CD=

(2 3 )2-12

=

11

，
且SD⊥AB，CD⊥AB，
又SD∩CD=D，
∴AB⊥面SDC，
在△SCD中，SC=4，SD=

3

，CD=

11

，
∴由余弦定理得cos∠CSD=

SC2+SD2-CD2

2SC•SD

=

16+3-11

2×4× 3

=

1

3

，
即sin∠CSD=

1-( 1 3 )2

=

1- 1 3

=

2 3

=

2

3

，
△SCD的面積S=

1

2

SD•SC•sin∠CSD=

1

2

×

3

×4×

2

3

=2

2

，
棱錐S-ABC的體積：V=V_A-SDC+V_B-SDC=

1

3

S•AD+

1

3

S•BD=

1

3

S•AB=

1

3

AB•S_△CSD=

1

3

×2×2

2

=

4 2

3

．
故答案為：

4 2

3

．

點評：本題主要考查了球內接三棱錐的體積計算，利用利用分割法求錐體的體積，利用線面垂直的判定定理證明AB⊥面SCD是解決本題的關鍵，考查學生的運算能力，綜合性較強，難度較大．