Question

4．已知兩條平行直線l₁：$\sqrt{3}$x-y+1=0與l₂：$\sqrt{3}$x-y+3=0．
（1）若直線m經過點（${\sqrt{3}$，4），且被l₁，l₂所截得線段長為2，求直線m的方程；
（2）若直線n與l₁，l₂都垂直，且與坐標軸圍成三角形面積是2$\sqrt{3}$，求直線n的方程．

Answer 1

分析 （1）求出l₁、l₂之間的距離，設直線m與l₁所成銳角為θ，求解θ=30°，推出直線m的傾斜角為90°或30°，然后求解直線方程．
（2）求出直線n的斜率是$k=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，設直線n的方程為$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+b$，利用三角形的面積求解即可．

解答 （1）解：l₁、l₂之間的距離$d=\frac{|3-1|}{{\sqrt{{{（\sqrt{3}）}^2}+{{（-1）}^2}}}}=1$，
設直線m與l₁所成銳角為θ，則$sinθ=\frac{1}{2}$，∴θ=30°，
直線m的傾斜角為90°或30°　所以，直線m的方程為$x=\sqrt{3}$或$y-4=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x-\sqrt{3}）$
即$x=\sqrt{3}$或$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+3$．
（2）解：直線l₁的斜率是${k_1}=\sqrt{3}$，
∵n⊥l，∴直線n的斜率是$k=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
設直線n的方程為$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+b$，令y=0得$x=\sqrt{3}b$，令x=0得y=b
∴$\frac{1}{2}|\sqrt{3}b|•|b|=2\sqrt{3}$，∴b=±2，
∴直線n的方程為$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+2$或$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-2$．

點評 本題考查直線方程的求法，直線的傾斜角截距式方程的應用，考查計算能力．