Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知

cosA

cosB

=

b

a

，且∠C=

2π

3

．
（Ⅰ）求角A，B的大��；
（Ⅱ）設函數f（x）=sin（x+A）+cosx，求f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知

cosA

cosB

=

b

a

，利用正弦定理求得 sin2A=sin2B，故A=B，再由 C=

2π

3

，可得A和B的值．
（Ⅱ）化簡函數f（x）為

3

sin（x+

π

3

），根據x∈[-

π

6

，

π

3

]，可得

π

6

≤x+

π

6

≤

2π

3

，由此求得f（x）
的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵已知

cosA

cosB

=

b

a

，由正弦定理得

cosA

cosB

=

sinB

sinA

，即 sin2A=sin2B．  …（3分）
∴A=B，或A+B=

π

2

（舍去），∵C=

2π

3

，則A=B=

π

6

．   …（6分）
（Ⅱ）∵函數f（x）=sin（x+A）+cosx=sin（x+

π

6

）+cosx=

3

sin（x+

π

3

），…（10分）
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，則 

π

6

≤x+

π

6

≤

2π

3

．  …（12分）
故當 x+

π

6

=

π

2

時，函數f（x）=

3

sin（x+

π

3

）取得最大值為

3

．    …（14分）

點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理及三角運算等基礎知識，兩角和差的正弦公式，同時考查運算求解能力，
屬于中檔題．