Question

已知向量，設f（x）=a•b．
（Ⅰ）求函數f（x）在[0，2π]上的零點；
（Ⅱ）設△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知，b=2，sinA=2sinC，求邊c的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用兩個向量的數量積公式以及三角公式化簡函數f（x），利用函數零點的定義求得x=π或．
（Ⅱ）由=，A∈（0，π），得．由正弦定理得a=2c，
 由a²=b²+c²-2bccosA 求出c．
解答：解：（Ⅰ）==．
由，得，，或，k∈Z
由x∈[0，2π]，得x=π或．故函數f（x）的零點為 π 和 ．
（Ⅱ）由=，A∈（0，π），得．
由sinA=2sinC得 a=2c．又b=2，由a²=b²+c²-2bccosA，得，
即  3c²+2c-4=0，∵c＞0，∴．
點評：本題考查兩個向量的數量積的運算，函數的零點的概念，同角三角函數的基本關系的應用，
正弦定理、余弦定理的應用．