Question

已知向量，函數f（x）=，且最小正周期為4π．
（1）求ω的值；
（2）設，，求sin（α+β）的值．
（3）若x∈[-π，π]，求函數f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）由題意得：…（2分）
∵F（x）的最小正周期為4π，
∴，解得…（4分）
（2）由（1），知，
則
∴，結合，得…（6分）
同理
∴，結合，得…（8分）
所以sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=…（10分）
（3）當x∈[-π，π]時，，
令t=，則，
原函數可化為f（t）=2sint，…（11分）
當； …（12分）
當…（13分）
所以，當x∈[-π，π]時，函數f（x）的值域為：…（14分）
分析：（1）根據數量積的坐標公式，得，再用輔助角公式化簡整理，得，再結合函數y=Asin（ωx+φ）的周期公式，可得ω的值；
（2）根據（1）中f（x）的表達式，結合三角函數的誘導公式，算出、，再用兩角和的正弦公式，即可算出sin（α+β）的值；
（3）當x∈[-π，π]時，∈（），利用換元法結合正弦函數的單調性，即可得到函數f（x）的值域．
點評：本題以向量數量積為載體，求解三角函數的圖象與性質等問題，著重考查了三角恒等變換、平面向量的數量積和三角函數的值域與最值等知識，屬于中檔題．