Question

已知函數的圖像過坐標原點，且在點處的切線的斜率是．

（1）求實數的值；

（2）求在區間上的最大值；

（3）對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點，使得是以為

直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊的中點在軸上？請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（I）．   （II）

對任意給定的正實數，曲線上總存在兩點，使得是以為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊的中點在y軸上．                 （12分） 

【解析】本試題主要是考查導數在研究函數中的運用。

（1）當x＜1時，由f（x）=-x³+x²+bx+c，知f′（x）=-3x²+2x+b．依題意f′（-1）=-5，故b=0，再由f（0）=0，能求出c=0．

（2）當x＜1時，由f（x）=-x³+x²，知f′（x）=-3x²+2x，令f′（x）=0，得x=0，x=

．列表討論，得f（-1）=2；f（0）=0；f（ ）= ；f（1）=0．由此進行分類討論，能求出f（x）在區間[-1，2]上的最大值．

（3）不妨設，則，顯然

因為是以為直角頂點的直角三角形，

所以，即結合方程有解來分析求解。