Question

對函數Φ(x)，定義f_k(x)＝Φ(x－mk)＋nk(其中x∈(mk，m＋mk]，k∈Z，m＞0，n＞0，且m、n為常數)為Φ(x)的第k階階梯函數，m叫做階寬，n叫做階高，已知階寬為2，階高為3．

(1)當Φ(x)＝2^x時

①求f₀(x)和f_k(x)的解析式；

②求證：Φ(x)的各階階梯函數圖象的最高點共線；

(2)若Φ(x)＝x²，則是否存在正整數k，使得不等式f_k(x)＜(1－3k)x＋4k²＋3k－1有解？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)①　2分 　　　4分 　　②時是增函數， 　　的第k階階梯函數圖象的最高點為 　　第k＋1階階梯函數圖象的最高點為 　　∴過Pk，Pk+1這兩點的直線斜率為 　　 　　同是可得過兩點的直線斜率也為 　　的各階階梯函數圖象的最高點共線．8分 　　(Ⅱ)當 　　 　　即 　　得　9分 　　當k＝1時，無解；10分 　　當時，由，得 　　　11分 　　又由　② 　　　13分 　　∴①②無公共部分，即不存在正整數k滿足題意．14分