Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的離心率為e=

3

3

，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切，A，B分別是橢圓的左右兩個頂點，P為橢圓C上的動點．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若P與A，B均不重合，設直線PA與PB的斜率分別為k₁，k₂，證明：k₁•k₂為定值．

Answer 1

分析：（I）寫出圓的方程，利用直線與圓相切的充要條件列出方程求出b的值，利用橢圓的離心率公式得到a，c的關系，再利用橢圓本身三個參數的關系求出a，c的值，將a，b的值代入橢圓的方程即可．
（II）設出P的坐標，將其代入橢圓的方程得到P的坐標的關系，寫出A，B的坐標，利用兩點連線的斜率公式求出
k₁，k₂，將P的坐標的關系代入k₁k₂化簡求出其值．

解答：（Ⅰ）解：由題意，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓的方程為x²+y²=b²，
∵直線x-y+2=0與圓相切，∴d=

2

2

=b，即b=

2

，
又e=

c

a

=

3

3

，即a=

3

c，
∵a²=b²+c²，
∴a=

3

，c=1，
所以橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）證明：設P（x₀，y₀）（y₀≠0），A(-

3

，0)，B(

3

，0)，
則

x 2 0

3

+

y 2 0

2

=1，即

y

2 0

=2-

2

3

x

2 0

，
∵直線PA與PB的斜率分別為k₁，k₂，
∴k1=

y0

x0+ 3

，k2=

y0

x0- 3

，
∴k1•k2=

y 2 0

x 2 0 -3

=

2- 2 3 x 2 0

x 2 0 -3

=

2 3 (3- x 2 0 )

x 2 0 -3

=-

2

3

，
∴k₁•k₂為定值-

2

3

．

點評：本題重點考查圓錐曲線的方程，考查直線與圓錐曲線的位置關系，直線的斜率，解題的關鍵是利用待定系數法求圓錐曲線的方程．