Question

【題目】已知.

（I）討論的單調(diào)性；

（II）當(dāng)有最大值,且最大值大于時,求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）

【解析】試題分析：

（1）由題已知函數(shù)的解析式（注意定義域），可運用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。即： 為函數(shù)的增區(qū)間，反之為減區(qū)間。由導(dǎo)函數(shù)中含有字母參數(shù)，需分類討論；

（2）由題給出了函數(shù)的最大值的范圍大于，再結(jié)合（1）已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可對應(yīng)單調(diào)性，表示出函數(shù)的最大值，從而建立不等式lna+a-1＜0，需構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性解出不等式的解，而求出的取值范圍。

試題解析：

（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定義域為（0，+∞），∴f′（x）=﹣a=，

若a≤0，則f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

若a＞0，則當(dāng)x∈（0，）時，f′（x）＞0，

當(dāng)x∈（，+∞）時，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a≤0時，f（x）在（0，+∞）上無最大值；

當(dāng)a＞0時，f（x）在x=取得最大值，最大值為f（）=﹣lna+a-1，

∵f（）＞2a﹣2，∴l(xiāng)na+a-1＜0，

令g（a）=lna+a-1，∵g（a）在（0，+∞）單調(diào)遞增，g（1）=0，

∴當(dāng)0＜a＜1時，g（a）＜0，當(dāng)a＞1時，g（a）＞0，∴a的取值范圍為（0，1）.