Question

（本題滿分12分）某中學校本課程共開設了共門選修課,每個學生必須且只能選修門選修課,現有該校的甲、乙、丙名學生.

（Ⅰ）求這名學生選修課所有選法的總數；

（Ⅱ）求恰有門選修課沒有被這名學生選擇的概率；

（Ⅲ）求選修課被這名學生選擇的人數的分布列和數學期望.

Answer 1

（Ⅰ）64 ；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由分步計數原理得名學生選修課所有選法的總數為種；（Ⅱ）利用古典概型概率計算公式先求出事件所包含的基本事件個數，先從4門課程中選2門，其次從3名學生中選2人，再從所選2門課程中選1門共有種；（Ⅲ）求解離散型隨機變量X的分布列的步驟：①理解X的意義，寫出X可能取的全部值；②求X取每個值的概率；③寫出X的分布列；④利用期望定義得出

試題解析：（Ⅰ）每個學生有四個不同選擇,根據分步計數原理,選法總數 2分

（Ⅱ）設“恰有門選修課沒有被這名學生選擇”為事件,則

,即恰有門選修課沒有被這名學生選擇的概率為. 5分

（Ⅲ）的所有可能取值為,且

, ,

, 9分

所以的分布列為

所以的數學期望. 12分

或:因為選修課被每位學生選中的概率均為,沒被選中的概率均為.

所以的所有可能取值為,且,

, ,

, 9分

所以的分布列為

所以的數學期望. 12分

考點：古典概型、分布列、期望