Question

已知數列{α_n}的前n項和為S_n，α₁=l，S_n=（2ⁿ-1）α_n（n∈N^*）．
（1）證明：數列{α_n}是等比數列；
（2）記T_n=n×α₁+（n-1）α₂+（n-2）α₃+…+2×α_n-1+1×α_n（n∈N^*），求L；
（3）證明：當n≥2（n∈N^*）時，（1+α₁）（1+α₂）×…×（1+α_n）≤6（1-2α_n+1）．

Answer 1

分析：（1）根據數列遞推式，再寫一式，兩式相減，化簡可得數列{a_n}是以1為首項，

1

2

為公比的等比數列；
（2）求得數列的通項，利用錯位相減法可求數列的和；
（3）用數學歸納法證明，關鍵是第二步設n=k（k≥2，k∈N^*）時成立，即（1+α₁）（1+α₂）×…×（1+α_k）≤6（1-2α_k+1），證明n=k+1時，結論成立，利用分析法進行證明．

解答：（1）證明：∵S_n=（2ⁿ-1）a_n，∴S_n+1=（2ⁿ⁺¹-1）a_n+1，
兩式相減可得：a_n+1=（2ⁿ⁺¹-1）a_n+1-（2ⁿ-1）a_n，
∴a_n+1=

1

2

a_n，
∵a₁=l，
∴數列{a_n}是以1為首項，

1

2

為公比的等比數列；
（2）解：由（1）知，a_n=(

1

2

)n-1
∵T_n=n×a_l+（n-1）a₂+（n-2）a₃+…+2×a_n-1+l×a_n，
∴

1

2

T_n=n×a₂+（n-1）a₃+（n-2）a₄+…+2×a_n+l×a_n+1，
∴

1

2

T_n=n×a_l-（a₂+a₃+…+a_n）-

1

2

a_n=n-1+

1

2n

∴Tn=2n-2+

1

2n-1

（3）證明：①當n=2時，左邊=（1+α₁）（1+α₂）=3，右邊=6（1-2α_n+1）=3，左邊=右邊，結論成立；
②設n=k（k≥2，k∈N^*）時成立，即（1+α₁）（1+α₂）×…×（1+α_k）≤6（1-2α_k+1），
則n=k+1時，左邊=（1+α₁）（1+α₂）×…×（1+α_k）（1+α_k+1）≤6（1-2α_k+1）（1+α_k+1）
下證6（1-2α_k+1）（1+α_k+1）≤6（1-2α_k+2），
即證：-α_k+1-2α_k+1²≤-2α_k+2，
即證：(

1

2

)k+(

1

2

)2k-1≥(

1

2

)k
即證：(

1

2

)2k-1≥0，顯然成立．
由①②可知，當n≥2（n∈N^*）時，（1+α₁）（1+α₂）×…×（1+α_n）≤6（1-2α_n+1）．

點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的證明，考查數列的求和，考查數學歸納法證明不等式，確定數列的通項是關鍵．