Question

已知動點P到點F（2，0）的距離與到直線l：x=

1

2

的距離之比為2．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）直線l的方程為x+y-2=0，l與曲線C交于A，B兩點，求線段AB的長．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設出P的坐標，利用已知條件得到方程化簡求解即可求點P的軌跡C的方程；
（2）直線l的方程為x+y-2=0，l與曲線C聯立方程組，利用韋達定理以及弦長公式，即可求線段AB的長．

解答： 解：（1）設點P的坐標為（x，y），則由題意得

(x-2)2+y2

| x- 1 2  |

=2，…（2分）
化簡得x2-

y2

3

=1，即為點P的軌跡C的方程．…（6分）
（2）將y=-x+2代入x2-

y2

3

=1中，并化簡得：2x²+4x-7=0，…（8分）
A，B兩點的坐標分別為：（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由韋達定理可得x₁+x₂=-2，x1x2=-

7

2

，
所以|AB|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=6．…（12分）

點評：本題考查軌跡方程的求法，直線與圓錐曲線的位置關系的應用，考查計算能力以及轉化思想的應用．