Question

已知函數f(x)=

1

2

x2-alnx(a∈R)．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）設g（x）=f（x）+2x，若g（x）在[1，e]上不單調且僅在x=e處取得最大值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可求得f′（x）=

x2-a

x

（x＞0），對參數a分a≤0與a＞0討論，即可得到f′（x）的符號，從而可求得f（x）的單調區間；
（Ⅱ）可求得g′（x）=

x2+2x-a

x

（x＞0），設h（x）=x²+2x-a（x＞0），利用g（x）在[1，e]上不單調，可得h（1）h（e）＜0，從而可求得3＜a＜e²+2e，再利用條件g（x）僅在x=e處取得最大值，可求得g（e）＞g（1），兩者聯立即可求得a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

（x＞0）---------（2分）
若a≤0，則f′（x）≥0，所以此時只有遞增區間（0，+∞）-----------------------------（4分）
若a＞0，當f′（x）＞0時，得x＞

a

，當f′（x）＜0時，得0＜x＜

a

，
所以此時遞增區間為：（

a

，+∞），遞減區間為：（0，

a

）---------------------（6分）
（Ⅱ）g′（x）=x-

a

x

+2=

x2+2x-a

x

（x＞0），設h（x）=x²+2x-a（x＞0）
若g（x）在[1，e]上不單調，則h（1）h（e）＜0，
∴（3-a）（e²+2e-a）＜0
∴3＜a＜e²+2e，
同時g（x）僅在x=e處取得最大值，
∴只要g（e）＞g（1）即可
得出：a＜

e2

2

+2e-

5

2

-------------------------------------------------------------------（13分）
∴a的范圍：（3，

e2

2

+2e-

5

2

）--------------------------------------------------------------------（15分）

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查利用導數求閉區間上函數的最值，考查構造函數與轉化思想的綜合運用，屬于難題．