Question

已知△ABC三內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，重心為G（三角形中三邊中線的交點），若2a

GA

+3b

GB

=3c

CG

，則cosB=

 

．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量的基本定理及其意義

專題：解三角形,平面向量及應用

分析：根據重心的性質及向量加法的平行四邊形法則得到

GA

=-

1

3

(

CB

-2

CA

)，

GB

=-

1

3

(-2

CB

+

CA

)，

CG

=

1

3

(

CB

+

CA

)分別帶入2a

GA

+3b

GB

=3c

CG

并根據平面向量基本定理可得到

2b- 2a 3 =c 4a 3 -b=c

，這兩式相減便得

b= 2a 3 c= 2a 3

．所以根據余弦定理即可求出cosB．

解答： 解：如圖，
根據重心的性質及向量加法的平行四邊形法則：

GA

=-

1

3

(

AB

+

AC

)=-

1

3

(

CB

-

CA

+

AC

)=-

1

3

(

CB

-2

CA

)；

GB

=-

1

3

(

BA

+

BC

)=-

1

3

(-2

CB

+

CA

)；

CG

=

1

3

(

CB

+

CA

)；
∴-

2a

3

(

CB

-2

CA

)-b(-2

CB

+

CA

)=c(

CB

+

CA

)；
即：(2b-

2a

3

)

CB

+(

4a

3

-b)

CA

=c

CB

+c

CA

；
∴

2b- 2a 3 =c 4a 3 -b=c

；
∴

b= 2a 3 c= 2a 3

；
由余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2

4 3 a2

=

3

4

．
故答案為：

3

4

．

點評：考查重心的性質：重心到頂點距離是它到對邊中點距離的2倍，向量加法的平行四邊形法則，以及平面向量基本定理，余弦定理．