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已知f₀（x）=xⁿ，

，其中k≤n（n，k∈N₊），設F（x）=

，x∈[-1，1]。
（1）寫出f₁（1）；
（2）證明：對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|F（x₁）-F（x₂）|≤2^n-1（n+2）-n-1。

解：（1）由已知推得

從而有

.
（2）當

時，

當

時，

所以F（x）在[0，1]上為增函數
因函數F（x）為偶函數，
所以F（x）在[-1，0]上為減函數
所以對任意的x₁，x₂∈[-1，1]恒有

又∵

∴

因此結論成立。，

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（Ⅰ）請寫出f_n（x）的表達式（不需證明）；
（Ⅱ）設f_n（x）的極小值點為P_n（x_n，y_n），求y_n；
（Ⅲ）設gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，g_n（x）的最大值為a，f_n（x）的最小值為b，試求a-b的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

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（1）試用n，k表示：F（1），F（0）
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已知f_k（x）=（n-k+1）x^n-k（其中k≤n，k，n∈N），F（x）=C_n°f₀（x²）+C_n¹f₁（x²）+…+C_n^kf_k（x²）+…+C_nⁿf_n（x²），x∈[-1，1]
（1）試用n，k表示：F（1），F（0）
（2）證明：F（1）-F（0）≤2^n-1（n+2）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f₀（x）=xⁿ，f_k（x）=（1），其中k≤n（n，k∈N^*），設F（x）=f₀（x²）+f₁（x²）+…+f_k（x²）+…+f_n（x²），x∈［-1，1］.

（1）寫出f_k（1）；

（2）證明：對任意的x₁，x₂∈［-1，1］，恒有|F（x₁）-F（x₂）|≤2^n-1（n+2）-n-1.

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練習冊

高中

初中

小學

已知f_k（x）=（n-k+1）x^n-k（其中k≤n，k，n∈N），F（x）=C_n°f₀（x²）+C_n¹f₁（x²）+…+C_n^kf_k（x²）+…+C_nⁿf_n（x²），x∈[-1，1]
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