Question

已知f_k（x）=（n-k+1）x^n-k（其中k≤n，k，n∈N），F(xiàn)（x）=C_n°f₀（x²）+C_n¹f₁（x²）+…+C_n^kf_k（x²）+…+C_nⁿf_n（x²），x∈[-1，1]
（1）試用n，k表示：F（1），F(xiàn)（0）
（2）證明：F（1）-F（0）≤2^n-1（n+2）

Answer 1

解：（1）f_k（1）=（n-k+1），f_k（0）=0
F（1）=C_n°f₀（1）+C_n¹f₁（1）+…+C_n^kf_k（1）+…+C_nⁿf_n（1）
=C_n°（n+1）+C_n¹ （n）+…+C_n^k （n-k+1）+…+C_nⁿ ×1，①
把F（1）倒序書寫可得
F（1）=C_nⁿ ×1++…+ （k+1）+…+C_n¹ （n）+C_n°（n+1），②
把①和②相加可得2F（1）=（n+2）（ C_n°+C_n¹ +…+C_n^k +…+C_nⁿ ）=（n+2）2ⁿ，
故F（1）=（n+2）2^n-1 ．
F（0）=C_n°f₀（0）+C_n¹f₁（0）+…+C_n^kf_k（0）+…+C_nⁿf_n（0）=0．
（2）證明：F（1）-F（0）=（n+2）2^n-1 -0≤（n+2）2^n-1 ，故不等式成立．
分析：（1）由條件求出f_k（1）的值，進而求得F（1）的解析式，再把F（1）倒序書寫，將這兩個式子相加再除以2，利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求出F（1）的值．根據(jù)f_k（0）的值求得F（0）的值．
（2）由于F（1）-F（0）=F（1）-0≤F（1），證得結(jié)論．
點評：本題主要考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)值的方法，把F（1）倒序書寫，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．