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已知f_k（x）=（n-k+1）x^n-k（其中k≤n，k，n∈N），F（x）=C_n°f₀（x²）+C_n¹f₁（x²）+…+C_n^kf_k（x²）+…+C_nⁿf_n（x²），x∈[-1，1]
（1）試用n，k表示：F（1），F（0）
（2）證明：F（1）-F（0）≤2^n-1（n+2）

（1）f_k（1）=（n-k+1），f_k（0）=0
F（1）=C_n°f₀（1）+C_n¹f₁（1）+…+C_n^kf_k（1）+…+C_nⁿf_n（1）
=C_n°（n+1）+C_n¹（n）+…+C_n^k （n-k+1）+…+C_nⁿ×1，①
把F（1）倒序書寫可得
F（1）=C_nⁿ×1+

n-1n

×2+…+

n-kn

（k+1）+…+C_n¹（n）+C_n°（n+1），②
把①和②相加可得2F（1）=（n+2）（ C_n°+C_n¹+…+C_n^k+…+C_nⁿ）=（n+2）2ⁿ，
故F（1）=（n+2）2^n-1．
F（0）=C_n°f₀（0）+C_n¹f₁（0）+…+C_n^kf_k（0）+…+C_nⁿf_n（0）=0．
（2）證明：F（1）-F（0）=（n+2）2^n-1-0≤（n+2）2^n-1，故不等式成立．

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已知函數f（x）=

x+1

（a為非零常數），定義：f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f[f_k（x）]，k∈N^*，例如：f₂（x）=f[f（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…
（1）當a=2時，求f2(1)，f3(-

)的值；
（2）若對于任意x≠-1，等式f₂（x）=x恒成立，求a的值；
（3）當a確定后，f_k（x），k∈N^*的值都由x的值確定．當a=2時，試通過對f_k（x）的探究，寫出一個使得集合{f_k（x）}為有限集的真命題（不必證明）．

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（1）試用n，k表示：F（1），F（0）
（2）證明：F（1）-F（0）≤2^n-1（n+2）

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同步練習冊答案

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練習冊

高中

初中

小學

已知f_k（x）=（n-k+1）x^n-k（其中k≤n，k，n∈N），F（x）=C_n°f₀（x²）+C_n¹f₁（x²）+…+C_n^kf_k（x²）+…+C_nⁿf_n（x²），x∈[-1，1]
（1）試用n，k表示：F（1），F（0）
（2）證明：F（1）-F（0）≤2^n-1（n+2）

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已知fk（x）=（n-k+1）xn-k（其中k≤n，k，n∈N），F（x）=Cn°f0（x2）+Cn1f1（x2）+…+Cnkfk（x2）+…+Cnnfn（x2），x∈[-1，1]（1）試用n，k表示：F（1），F（0）（2）證明：F（1）-F（0）≤2n-1（n+2）

已知f_k（x）=（n-k+1）x^n-k（其中k≤n，k，n∈N），F（x）=C_n°f₀（x²）+C_n¹f₁（x²）+…+C_n^kf_k（x²）+…+C_nⁿf_n（x²），x∈[-1，1]
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（2）證明：F（1）-F（0）≤2^n-1（n+2）