【題目】已知橢圓
的離心率為
，橢圓
截直線
所得的線段的長度為
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線
與橢圓交于
兩點，點
是橢圓上的點，
是坐標原點，若
，判定四邊形
的面積是否為定值？若為定值，求出定值；如果不是，請說明理由.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）見解析
【解析】
（Ⅰ）根據(jù)橢圓
截直線
所得的線段的長度為
，可得橢圓過點
，結(jié)合離心率即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）分類討論：當直線
的斜率不存在時，四邊形
的面積為
； 當直線的斜率存在時，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，由
得
，代入曲線C，整理出k，m的等量關(guān)系式，再根據(jù)
寫出面積的表達式整理即可得到定值。
(Ⅰ)由
解得
得橢圓的方程為.
（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，直線
的方程為
或
，
此時四邊形的面積為．
當直線的斜率存在時，設(shè)直線方程是
，聯(lián)立橢圓方程
，
點
到直線的距離是
由得
因為點
在曲線上，所以有
整理得
由題意四邊形為平行四邊形，所以四邊形的面積為
由得
, 故四邊形的面積是定值，其定值為．
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，短軸長為2；
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)橢圓上頂點
，左、右頂點分別為
、
.直線
且交橢圓于
、
兩點，點E 關(guān)于
軸的對稱點為點
，求證：
．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】給出下列命題：
（1）直線
與線段
相交，其中
，
，則
的取值范圍是
；
（2）點
關(guān)于直線
的對稱點為
，則的坐標為
；
（3）圓
上恰有
個點到直線
的距離為
；
（4）直線
與拋物線
交于
，
兩點，則以為直徑的圓恰好與直線
相切.
其中正確的命題有_________.（把所有正確的命題的序號都填上）
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，三棱錐
中，平面
平面
，平面
平面，
分別是
和
邊上的點，且
，
，
，
，
，
，
為
的中點.
（1）求證：
平面
；
（2）求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在五棱錐P-ABCDE中，△ABE是等邊三角形，四邊形BCDE是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°，G是CD的中點，點P在底面的射影落在線段AG上．
（Ⅰ）求證：平面PBE⊥平面APG；
（Ⅱ）已知AB=2，BC=
，側(cè)棱PA與底面ABCDE所成角為45°，S△PBE=，點M在側(cè)棱PC上，CM=2MP，求二面角M-AB-D的余弦值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在①離心率
，②橢圓
過點
，③
面積的最大值為
，這三個條件中任選一個，補充在下面（橫線處）問題中，解決下面兩個問題.
設(shè)橢圓
的左、右焦點分別為
，過
且斜率為
的直線
交橢圓于
兩點，已知橢圓的短軸長為
，________.
（1）求橢圓的方程；
（2）若線段
的中垂線與
軸交于點
，求證：
為定值.
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